Ronald Graham, un destacado matemático y presidente de la Sociedad Matemática Estadounidense, también era un talentoso malabarista y líder de la Asociación Internacional de Malabaristas. Fan Chung, matemática en la Universidad de California en San Diego y esposa de Graham, recuerda su pasión por los trucos, como hacer girar pelotas y lanzar bolígrafos contra la pared. Graham a menudo combinaba sus dos pasiones, señalando en una entrevista de 1980 que muchos matemáticos e informáticos se sienten atraídos por el malabarismo, ya que la búsqueda de patrones y estructuras es fundamental para ambas disciplinas.
A lo largo de su carrera, Graham escribió varios artículos, algunos en colaboración con Chung, explorando la relación entre las matemáticas y el malabarismo. En 1971, formuló una intrigante pregunta que, según algunos matemáticos, podría haber sido influenciada por su amor por los malabares. La cuestión es la siguiente: dado un conjunto aleatorio de números enteros distintos, ¿puedes reorganizarlos de tal manera que cada suma parcial de los primeros números sea diferente? En términos de malabarismo, esto implica que si cada bola permanece en el aire durante un tiempo distinto, siempre se puede encontrar un orden para lanzarlas, evitando que dos bolas caigan simultáneamente.
Para los números positivos, la respuesta a la pregunta de Graham es clara: las sumas siempre aumentan al incluir más números. Lo mismo ocurre si hay una mezcla de números positivos y negativos. Sin embargo, la situación se complica en un contexto finito, como el de un reloj, donde los números se repiten después de cierto punto. Este era el desafío que Graham quería abordar. Creía que, incluso con restricciones, sería posible encontrar patrones o estructuras, similar a cómo se pueden resolver rompecabezas complejos como el sudoku. Sin embargo, durante décadas, la intuición de Graham no pudo ser probada.
Un Resurgimiento Matemático
Recientemente, varios matemáticos jóvenes retomaron el tema y, tras una serie de artículos interrelacionados, lograron resolver la conjetura de reordenamiento de Graham. La obra culminante, escrita por Lisa Sauermann de la Universidad de Bonn y Huy Tuan Pham de la Universidad de Chicago, fue publicada en febrero de 2026, cerrando el capítulo de este enigma matemático. Un hilo común en estos trabajos fue el poder del azar para descubrir patrones, como lo mencionó Noga Alon, matemático de la Universidad de Princeton, quien destacó la importancia de la colaboración y las técnicas probabilísticas que llevaron a la solución.
Alp Müyesser, matemático de la Universidad de Oxford, se sintió atraído por problemas que combinan procesos aleatorios con otros elementos. Al abordar uno de estos problemas en 2022, se topó con la conjetura de Graham y se dio cuenta de que su reciente hallazgo podría aplicarse aquí. La conjetura se centra en la aritmética de relojes, donde los números enteros se colocan en una línea numérica que se extiende alrededor de un reloj, repitiéndose después de un número primo, p. La pregunta es si, al elegir un conjunto de números distintos de cero, siempre se puede reordenar de modo que las sumas parciales sean diferentes.
Abordajes Innovadores
La dificultad de este desafío depende del tamaño del conjunto en relación con p. A medida que se eligen más números, se incrementan las sumas a gestionar. Müyesser y su mentor, Alexey Pokrovskiy, se enfocaron en conjuntos que incluían casi todos los números posibles hasta p. En estos casos, encontrar un ordenamiento válido puede resultar extremadamente complicado. Sin embargo, comenzaron con un ordenamiento aleatorio que les resultó útil. Müyesser comparó este proceso con «encontrar la aguja en el pajar», donde, aunque hay muchos ordenamientos válidos, encontrar uno específico es difícil.
Para evitar que ciertas secuencias sumaran cero, Müyesser y Pokrovskiy seleccionaron algunos números clave del conjunto y los mezclaron. Si identificaban un intervalo con suma cero, podían reemplazarlo con uno de los números de reserva. Aunque publicaron su solución en 2022, esta se encontraba en un artículo que abordaba una técnica más amplia.
Un par de años después, Noah Kravitz, de Oxford, encontró la conjetura de Graham en un archivo en línea de problemas sin resolver. Sin conocer el trabajo previo, decidió enfrentarse al problema desde un enfoque opuesto, estudiando conjuntos de números pequeños en comparación con p. Junto a Benjamin Bedert, logró resolver la conjetura para esos casos y publicaron su resultado en septiembre de 2024. Müyesser se puso en contacto con ellos, y juntos unieron fuerzas para expandir el enfoque.
Un Enfoque Colectivo y Efectivo
La colaboración resultó ser una combinación inusual, ya que cada uno provenía de áreas distintas de la combinatoria. Su artículo, publicado en agosto de 2025, abordó casos donde el conjunto de números era relativamente grande en comparación con p. Sin embargo, persistía un vacío en la investigación, ya que no se había logrado resolver la conjetura para conjuntos de tamaño mediano. El problema parecía entrar en un periodo de inactividad hasta que, en febrero de 2026, Lisa Sauermann y Huy Tuan Pham, amigos de larga data, decidieron trabajar juntos tras asistir a una conferencia en Alemania.
Durante su breve visita, se interesaron por la conjetura de Graham y recordaron un problema similar que Sauermann había resuelto en la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Utilizando un método complejo conocido como «anticoncentración», comenzaron a reordenar aleatoriamente su conjunto de números, implementando un procedimiento para corregir cualquier problema que surgiera, como secuencias cuya suma resultara cero.
Los matemáticos esperaban demostrar que estos problemas eran improbables usando la anticoncentración, lo que les permitiría reorganizar el conjunto de números de manera satisfactoria. Al aplicar el análisis de Fourier, demostraron que al sumar conjuntos aleatorios, ninguna suma tenía una probabilidad especial de aparecer. Esto les permitió estimar la probabilidad de que ocurrieran eventos negativos y, al finalizar, demostraron que la probabilidad total era inferior al 100%, lo que resolvió la conjetura.
Logros Notables y Futuras Implicaciones
Tras su visita a Alemania, Sauermann y Pham publicaron su demostración de 27 páginas, que no solo confirmaba la posibilidad de una reorganización satisfactoria, sino que también mostraba que un orden aleatorio podía reorganizarse para evitar eventos desfavorables en al menos el 90% de los casos, un resultado notable. Los matemáticos que habían trabajado anteriormente en el problema se sorprendieron por la rapidez con la que se resolvió el caso restante.
En conjunto, los cuatro artículos lograron demostrar la conjetura de Graham para conjuntos de diversos tamaños, aunque todos asumían que p era extremadamente grande. Este aspecto no representa un desafío para los matemáticos, ya que se trata de aritmética de reloj. Sin embargo, aún queda por resolver el caso para todos los valores de p, lo que complicaría la aplicación del resultado en la coreografía de una rutina de malabarismo, ya que para un p tan elevado, la rutina tendría que ser considerablemente extensa.
La resolución del problema confirma que, incluso dentro de conjuntos numéricos limitados, siempre existen estructuras interesantes. «Siempre se puede lograr cierto grado de flexibilidad al reorganizar los números del conjunto», concluyó Alon. Chung, por su parte, expresó que Graham estaría encantado de ver la resolución de este enigma matemático.