Un equipo de científicos de la Universidad de Michigan y otras instituciones ha logrado resolver un problema matemático que llevaba 125 años sin respuesta. Este desafío, conocido como el sexto problema de Hilbert, fue planteado por el matemático David Hilbert en 1900 y se centra en el «Tratamiento matemático de los axiomas de la física».
Hilbert se cuestionaba cómo se podían derivar ciertas leyes de la física, especialmente aquellas relacionadas con el comportamiento de los fluidos en diferentes escalas espaciales. En un artículo publicado en el portal ArXiv, los investigadores afirman haber logrado unificar estas leyes, lo que podría tener importantes repercusiones en la dinámica de fluidos y en nuestra comprensión de la atmósfera y los océanos.
El desafío de Hilbert
El planteamiento de Hilbert se centra en tres enfoques diferentes para el movimiento de los fluidos. El primero es el microscópico, que utiliza las leyes del movimiento de Newton para seguir, al menos en teoría, las trayectorias de cada partícula del fluido. El segundo enfoque es el mesoscópico, representado por la ecuación de Boltzmann (⟨Ecin⟩=23kBT), que describe el comportamiento del fluido de manera «estadística».
Finalmente, el enfoque macroscópico se basa en las ecuaciones fluidodinámicas de Euler y Navier-Stokes, que describen el comportamiento del fluido «como un todo». La segunda parte del sexto problema de Hilbert se ocupa de la derivación y unificación de estos tres enfoques desde los axiomas iniciales, buscando una teoría coherente. Yu Deng, Zaher Hani y Xiao Ma, los autores del estudio, afirman haber logrado derivar las ecuaciones macroscópicas de los fluidos a partir de las leyes de Newton y la teoría cinética de Boltzmann.
Desafíos temporales
Una de las principales dificultades en la resolución de este problema está relacionada con la naturaleza del tiempo, una entidad compleja que ha intrigado a los físicos durante siglos. Según Yu Deng, algunas de las leyes involucradas son simétricas en relación con la inversión temporal, lo que significa que «funcionan» tanto si el tiempo avanza como si retrocede, sin identificar una dirección preferida para su flujo. Sin embargo, nuestra experiencia cotidiana nos indica lo contrario: el tiempo siempre fluye en una dirección, como lo demuestran las leyes de Boltzmann y la termodinámica, que establecen un flujo temporal del pasado al futuro, o, en términos técnicos, de un estado de menor entropía a uno de mayor entropía.
Los investigadores han logrado entender cómo, dónde, cuándo y por qué se activa un mecanismo que establece una dirección privilegiada para el flujo del tiempo, superando así la paradoja de la «simetría temporal».
Avances en la simplificación
Hasta ahora, se habían presentado varias «soluciones parciales» al sexto problema de Hilbert, pero el enfoque recientemente publicado ofrece una formulación más general. Los autores encontraron una manera de simplificar el tratamiento de las ecuaciones que describen el movimiento de partículas que interactúan repetidamente, lo que permitió reducir la complejidad del problema y hacer que todas las piezas encajaran.
A pesar de este avance, los autores advierten que «la solución a los problemas de Hilbert aún no está completa». La relevancia del sexto problema no solo radica en la axiomatización de las leyes de la física, sino también en la comprensión de las implicaciones de estos modelos matemáticos. «Sabemos que los modelos dejan de funcionar en un punto específico y a una escala temporal o espacial determinada. Creo que la formulación moderna del sexto problema de Hilbert debería centrarse en ‘comprender qué sucede cuando esto ocurre'», explica Deng. Los científicos están particularmente interesados en lo que sucede a escalas aún más microscópicas, donde las ecuaciones de fluidos pueden llevar a singularidades, es decir, soluciones matemáticas que carecen de sentido físico. Este interés no es solo académico; en muchos campos como la oceanografía y la ciencia atmosférica, las singularidades son comunes, y el trabajo reciente podría ayudar a abordar estos problemas. Sin embargo, como reconocen los autores, este proceso podría llevar tiempo.